Applications classiques des suites récurrentes

Avant de commencer

Une suite récurrente peut modéliser des situations concrètes : intérêts composés, population qui croît, fractale, motif de croissance. Voyons trois cas classiques.

1. Suite arithmétique

U(n) = U(n−1) + r, raison r constante.

FUNCTION TermeArith(a, r, n : integer) : integer;
VAR i, res : integer;
BEGIN
  res := a;
  FOR i := 1 TO n DO
    res := res + r;
  TermeArith := res;
END;

Formule fermée : U(n) = a + n × r (plus rapide, en O(1)).

Somme des n premiers termes

S(n) = (n+1) × (a + U(n)) / 2 (formule de la somme arithmétique).

2. Suite géométrique

U(n) = U(n−1) × q, raison q constante.

FUNCTION TermeGeo(a, q, n : integer) : real;
VAR
  i : integer;
  res : real;
BEGIN
  res := a;
  FOR i := 1 TO n DO
    res := res * q;
  TermeGeo := res;
END;

Formule fermée : U(n) = a × q^n.

Exemple : intérêts composés

Un placement de 1000 DT à 5% par an : combien après 10 ans ?

U(10) = 1000 × 1.05^10 ≈ 1628.89 DT.

3. Fibonacci : un cas particulier (ordre 2)

F(n) = F(n−1) + F(n−2) avec F(0) = 0, F(1) = 1.

Termes : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

FUNCTION Fibo(n : integer) : integer;
VAR
  i, a, b, c : integer;
BEGIN
  IF n < 2 THEN
    Fibo := n
  ELSE
  BEGIN
    a := 0; b := 1;
    FOR i := 2 TO n DO
    BEGIN
      c := a + b;
      a := b;
      b := c;
    END;
    Fibo := b;
  END;
END;

4. Trace : Fibonacci(6)

5. Exercices

FUNCTION Doubler(n : integer) : integer;
VAR i, res : integer;
BEGIN
  res := 1;
  FOR i := 1 TO n DO
    res := res * 2;
  Doubler := res;
END;

PROGRAM Bacteries;
VAR
  N0, t, i : integer;
  N : integer;
BEGIN
  N0 := 100;
  Write('Temps t (heures) : ');
  Readln(t);
  N := N0;
  FOR i := 1 TO t DO
    N := N * 2;
  Writeln('Population à t=', t, ' : ', N);
END.

PROGRAM Syracuse;
VAR
  u, i : integer;
BEGIN
  Write('U(0) = ');
  Readln(u);
  i := 0;
  WHILE (u <> 1) AND (i < 1000) DO
  BEGIN
    Writeln('U(', i, ') = ', u);
    IF u MOD 2 = 0 THEN
      u := u DIV 2
    ELSE
      u := 3 * u + 1;
    i := i + 1;
  END;
  Writeln('U(', i, ') = ', u);
END.

6. Erreurs fréquentes au bac

• Mauvaise initialisation pour Fibonacci : a := 1, b := 1 donne la suite à partir de F(1), pas F(0).
• Confondre l'ordre des affectations dans la mise à jour (a := b doit venir après le calcul de c).
• Utiliser integer pour des suites à croissance exponentielle — dépassement de capacité à n ≈ 30 pour Fibo.

7. Quiz