Nombres parfaits et nombres amis

Avant de commencer

6 = 1 + 2 + 3 : 6 est le plus petit nombre parfait. Les diviseurs propres de 220 sont 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, et réciproquement pour 284 → 220. Ces deux nombres sont amis.

1. Somme des diviseurs propres

FUNCTION SommeDiv(n : integer) : integer;
VAR i, s : integer;
BEGIN
  s := 0;
  FOR i := 1 TO n DIV 2 DO     { aucun diviseur propre > n/2 }
    IF n MOD i = 0 THEN
      s := s + i;
  SommeDiv := s;
END;

SommeDiv(6) = 1 + 2 + 3 = 6. SommeDiv(12) = 1+2+3+4+6 = 16.

2. Nombre parfait

FUNCTION EstParfait(n : integer) : boolean;
BEGIN
  EstParfait := (n = SommeDiv(n)) AND (n > 0);
END;

Premiers parfaits : 6, 28, 496, 8128. Ils sont rares !

3. Nombres amis

FUNCTION SontAmis(a, b : integer) : boolean;
BEGIN
  SontAmis := (a <> b) AND (SommeDiv(a) = b) AND (SommeDiv(b) = a);
END;

Couple célèbre : (220, 284). Le suivant : (1184, 1210).

4. Exercices

PROGRAM Parfaits;
VAR n, k : integer;
BEGIN
  Write('N : ');
  Readln(n);
  FOR k := 1 TO n DO
    IF EstParfait(k) THEN
      Writeln(k, ' est parfait');
END.

PROGRAM Amis;
CONST N = 1500;
VAR a, b : integer;
BEGIN
  FOR a := 2 TO N DO
  BEGIN
    b := SommeDiv(a);
    IF (b > a) AND (b <= N) AND (SommeDiv(b) = a) THEN
      Writeln('(', a, ', ', b, ')');
  END;
END.

5. Erreurs fréquentes au bac

• Inclure n dans la somme : FOR i := 1 TO n au lieu de n DIV 2.
• Tester n=0 ou négatif sans le bloquer.
• Pour les amis : oublier que a ≠ b (sinon tous les parfaits seraient amis avec eux-mêmes).

6. Quiz