Résolution numérique d'équations f(x) = 0

Avant de commencer

Vous voulez calculer √2 (ou plus généralement résoudre x² − 2 = 0). Pas de formule simple en arithmétique ? Pas grave : on va approcher la racine itérativement.

1. Théorème des valeurs intermédiaires (rappel)

Si f est continue sur [a, b] et f(a) × f(b) < 0 (signes opposés), alors il existe au moins une racine c dans [a, b].

2. Méthode de dichotomie

À chaque étape :

1. Calculer le milieu m = (a + b) / 2.
2. Si f(m) = 0 : on a la racine.
3. Si f(a) × f(m) < 0 : la racine est dans [a, m] → b ← m.
4. Sinon : a ← m.

On répète jusqu'à b − a < ε.

DEF FN Dicho(a, b, eps : réel) : réel
  Tant que (b - a) > eps Faire
    m ← (a + b) / 2
    Si f(a) * f(m) < 0 Alors
      b ← m
    Sinon
      a ← m
    FinSi
  FinTantQue
  Dicho ← (a + b) / 2
Fin Dicho

DEF FN Dicho(a, b, eps : réel) : réel
  Tant que (b - a) > eps Faire
    m ← (a + b) / 2
    Si f(a) * f(m) < 0 Alors
      b ← m
    Sinon
      a ← m
    FinSi
  FinTantQue
  Dicho ← (a + b) / 2
Fin Dicho

FUNCTION f(x : real) : real;
BEGIN
  f := x * x - 2;   { exemple : √2 }
END;

FUNCTION Dicho(a, b, eps : real) : real;
VAR m : real;
BEGIN
  WHILE (b - a) > eps DO
  BEGIN
    m := (a + b) / 2;
    IF f(a) * f(m) < 0 THEN
      b := m
    ELSE
      a := m;
  END;
  Dicho := (a + b) / 2;
END;

3. Trace : √2 avec ε = 0.01

f(x) = x² − 2, on part de [a=1, b=2] (car f(1) = −1 < 0 et f(2) = 2 > 0).

Résultat : ≈ 1.414 (≈ √2 = 1.4142…).

4. Précision et nombre d'itérations

Après k itérations, l'intervalle vaut (b₀ − a₀) / 2^k. Pour atteindre ε :

(b₀ − a₀) / 2^k ≤ ε ⟹ k ≥ log₂((b₀ − a₀) / ε)

Pour [1, 2] et ε = 0.0001 : k ≥ log₂(10000) ≈ 14 itérations.

5. Exercices

PROGRAM Racine;
VAR a, b, eps, x : real;

FUNCTION f(x : real) : real;
BEGIN
  f := x*x*x + x - 1;
END;

FUNCTION Dicho(a, b, eps : real) : real;
VAR m : real;
BEGIN
  WHILE (b - a) > eps DO
  BEGIN
    m := (a + b) / 2;
    IF f(a) * f(m) < 0 THEN
      b := m
    ELSE
      a := m;
  END;
  Dicho := (a + b) / 2;
END;

BEGIN
  a := 0; b := 1; eps := 0.001;
  x := Dicho(a, b, eps);
  Writeln('Racine ≈ ', x:8:4);
END.

FUNCTION Newton(x0, eps : real) : real;
VAR x, xn : real;
BEGIN
  x := x0;
  REPEAT
    xn := x - (x*x - 2) / (2*x);
    x := xn;
  UNTIL ABS(x*x - 2) < eps;     { critère sur la valeur de f(x) }
  Newton := x;
END;

6. Erreurs fréquentes au bac

• Pas vérifier f(a) * f(b) < 0 au départ (sinon pas de racine garantie).
• WHILE b - a > eps mais eps trop petit → boucle quasi infinie ou imprécisions flottantes.
• Diviser par zéro en Newton si f'(x) = 0.

7. Quiz